Riešené príklady z dynamiky: Hybnosť, Impulz a Trenie

Základné definície: Hybnosť a Impulz sily

Hybnosť (p) je definovaná ako súčin hmotnosti telesa (m) a jeho rýchlosti (v): $p = m \cdot v$.

Impulz sily (I) je definovaný ako zmena hybnosti, teda $I = \Delta p = F \cdot \Delta t$, kde $F$ je sila a $\Delta t$ je čas, počas ktorého táto sila pôsobí.

Príklady výpočtu hybnosti (p)

1. Hybnosť auta

• Hmotnosť: $m = 1000 \text{ kg}$
• Rýchlosť: $v = 90 \text{ km/h} = 25 \text{ m/s}$
• Výpočet: $p = m \cdot v = 1000 \text{ kg} \cdot 25 \text{ m/s} = 25\,000 \text{ kg}\cdot\text{m/s}$

2. Zmena hybnosti vlaku

• Hmotnosť: $m = 30 \text{ ton} = 30\,000 \text{ kg}$
• Počiatočná rýchlosť: $v_1 = 50 \text{ km/h} \approx 13.89 \text{ m/s}$
• Konečná rýchlosť: $v_2 = 80 \text{ km/h} \approx 22.22 \text{ m/s}$
• Zmena hybnosti: $\Delta p = m \cdot (v_2 - v_1) = 30\,000 \text{ kg} \cdot (22.22 \text{ m/s} - 13.89 \text{ m/s}) \approx 250\,500 \text{ kg}\cdot\text{m/s}$

3. Čas pôsobenia sily na loptu

• Hmotnosť: $m = 0.2 \text{ kg}$
• Rýchlosť: $v = 20 \text{ m/s}$
• Sila: $F = 400 \text{ N}$
• Výpočet času: $\Delta t = (m \cdot v) / F = (0.2 \text{ kg} \cdot 20 \text{ m/s}) / 400 \text{ N} = 0.01 \text{ s}$

4. Zmena hybnosti nákladného auta

• Hmotnosť: $m = 5000 \text{ kg}$
• Počiatočná rýchlosť: $v_1 = 5 \text{ m/s}$
• Konečná rýchlosť: $v_2 = 20 \text{ m/s}$
• Čas: $t = 25 \text{ s}$
• Zmena hybnosti: $\Delta p = m \cdot (v_2 - v_1) = 5000 \text{ kg} \cdot (20 \text{ m/s} - 5 \text{ m/s}) = 75\,000 \text{ kg}\cdot\text{m/s}$

Príklady výpočtu impulzu (I) a sily (F)

1. Sila pôsobiaca na loptu

• Hmotnosť: $m = 100 \text{ g} = 0.1 \text{ kg}$
• Rýchlosť: $v = 11 \text{ m/s}$
• Čas pôsobenia: $\Delta t = 0.01 \text{ s}$
• Zrýchlenie: $a = v / \Delta t = 11 \text{ m/s} / 0.01 \text{ s} = 1100 \text{ m/s}^2$
• Sila: $F = m \cdot a = 0.1 \text{ kg} \cdot 1100 \text{ m/s}^2 = 110 \text{ N}$

2. Impulz pre teleso v pohybe

• Hmotnosť: $m = 6 \text{ kg}$
• Rýchlosť: $v = 3 \text{ m/s}$
• Impulz (zmena hybnosti z pokoja): $I = m \cdot v = 6 \text{ kg} \cdot 3 \text{ m/s} = 18 \text{ Ns}$

3. Porovnanie impulzu pre rôzne hmotnosti

Uvažujme telesá s hmotnosťou $5 \text{ kg}$ a $2 \text{ kg}$. Ak je impulz, ktorý na ne pôsobí, rovnaký, rýchlosť telesa závisí od jeho hmotnosti. V uzavretej sústave je impulz (zmena hybnosti) zachovaný.

Zákon zachovania hybnosti

1. Strela z pušky (Spätný ráz)

• Hmotnosť strely: $m_1 = 0.01 \text{ kg}$
• Rýchlosť strely: $v_1 = 800 \text{ m/s}$
• Hmotnosť pušky: $m_2 = 4 \text{ kg}$
• a) Celková hybnosť sústavy (pred výstrelom): $p_{\text{celk}} = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot 0 = 0.01 \text{ kg} \cdot 800 \text{ m/s} = 8 \text{ kg}\cdot\text{m/s}$
• b) Spätná rýchlosť pušky ($v_2$): $m_1 \cdot v_1 = m_2 \cdot v_2$. $v_2 = (0.01 \text{ kg} \cdot 800 \text{ m/s}) / 4 \text{ kg} = 2 \text{ m/s}$. (Pôvodná hodnota $0.002 \text{ m/s}$ bola chybná.)

2. Biliardové gule (Výpočet hmotnosti)

• Hmotnosť prvej gule: $m_1 = 150 \text{ g} = 0.15 \text{ kg}$
• Rýchlosť prvej gule: $v_1 = 5 \text{ m/s}$
• Rýchlosť druhej gule po zrážke: $v_2 = 15 \text{ m/s}$
• Celková hybnosť sústavy (pred zrážkou): $p_{\text{celk}} = 0.15 \text{ kg} \cdot 5 \text{ m/s} = 0.75 \text{ kg}\cdot\text{m/s}$
• Hmotnosť druhej gule ($m_2$): $m_2 = p_{\text{celk}} / v_2 = 0.75 \text{ kg}\cdot\text{m/s} / 15 \text{ m/s} = 0.05 \text{ kg}$

3. Spojenie vozíkov po náraze (Nepružná zrážka)

• Hmotnosť prvého vozíka: $m_1 = 4 \text{ kg}$, $v_1 = 0.5 \text{ m/s}$
• Hmotnosť druhého vozíka: $m_2 = 2 \text{ kg}$, $v_2 = 0.2 \text{ m/s}$
• Celková hybnosť pred nárazom: $p_{\text{pred}} = (4 \text{ kg} \cdot 0.5 \text{ m/s}) + (2 \text{ kg} \cdot 0.2 \text{ m/s}) = 2.4 \text{ kg}\cdot\text{m/s}$. (Pôvodná hodnota $2.2 \text{ kg}\cdot\text{m/s}$ bola chybná.)
• Po náraze majú rovnakú rýchlosť $v$: $p_{\text{po}} = (m_1 + m_2) \cdot v = 6 \text{ kg} \cdot v$
• Rýchlosť po náraze: $v = 2.4 \text{ kg}\cdot\text{m/s} / 6 \text{ kg} = 0.4 \text{ m/s}$. (Pôvodná hodnota $0.367 \text{ m/s}$ bola chybná.)

Trenie a trecia sila

Trecia sila ($F_t$) pôsobí proti pohybu. Pre vodorovnú plochu platí $F_t = \mu \cdot m \cdot g$, kde $\mu$ je koeficient trenia.

1. Výpočet trecej sily pre debnu

• Hmotnosť: $m = 200 \text{ kg}$
• Koeficient trenia: $\mu = 0.2$
• Sila trenia: $F_t = \mu \cdot m \cdot g = 0.2 \cdot 200 \text{ kg} \cdot 9.81 \text{ m/s}^2 = 392.4 \text{ N}$

2. Celková sila pre kváder so šmykovým trením

Celková sila $F$ je súčet sily potrebnej na zrýchlenie a trecej sily.

• Hmotnosť: $m = 10 \text{ kg}$
• Zrýchlenie: $a = 2 \text{ m/s}^2$
• Koeficient trenia: $\mu = 0.1$
• Celková sila: $F = m \cdot a + \mu \cdot m \cdot g = (10 \text{ kg} \cdot 2 \text{ m/s}^2) + (0.1 \cdot 10 \text{ kg} \cdot 9.81 \text{ m/s}^2) = 29.81 \text{ N}$. (Pôvodná hodnota $23.82 \text{ N}$ bola chybná.)

Sily na naklonenej rovine

Gravitačná sila sa rozkladá na pohybovú zložku ($F_{\text{par}}$) a tlakovú zložku ($F_{\text{kolm}}$).

1. Cyklista do kopca (Uhol 30°)

• Hmotnosť cyklistu: $m_{\text{cyklista}} = 65 \text{ kg}$
• Hmotnosť bicykla: $m_{\text{bicykel}} = 12 \text{ kg}$
• Celková hmotnosť: $M = 77 \text{ kg}$
• Uhol sklonu: $\alpha = 30 \text{ °}$
• Pohybová zložka: $F_{\text{par}} = M \cdot g \cdot \sin(\alpha) = 77 \text{ kg} \cdot 9.81 \text{ m/s}^2 \cdot \sin(30 \text{ °}) \approx 377.7 \text{ N}$. (Pôvodná hodnota $430.5 \text{ N}$ je nepresná.)
• Tlaková zložka: $F_{\text{kolm}} = M \cdot g \cdot \cos(\alpha) = 77 \text{ kg} \cdot 9.81 \text{ m/s}^2 \cdot \cos(30 \text{ °}) \approx 655.1 \text{ N}$. (Pôvodná hodnota $686.9 \text{ N}$ bola chybná.)

2. Cyklista do kopca (Uhol 45°)

• Celková hmotnosť: $M = 77 \text{ kg}$
• Uhol sklonu: $\alpha = 45 \text{ °}$
• Pohybová zložka: $F_{\text{par}} = M \cdot g \cdot \sin(45 \text{ °}) \approx 534.5 \text{ N}$. (Pôvodná hodnota $540.1 \text{ N}$ je nepresná.)
• Tlaková zložka: $F_{\text{kolm}} = M \cdot g \cdot \cos(45 \text{ °}) \approx 534.5 \text{ N}$. (Pôvodná hodnota $606.2 \text{ N}$ bola chybná.)