Local and Global Extrema, Critical Points, and Saddle Points

Extremos locales

Definición. Sea f : C → R una función definida en un abierto C ⊆ R n. -Diremos que el punto a ∈ C es un máximo relativo (local) estricto de f si f (a) > f (x) para todo x perteneciente a un entorno reducido de a en C. -Diremos que el punto a ∈ C es un mínimo relativo (local) estricto de f si f (a) < f (x) para todo x perteneciente a un entorno reducido de a en C. -Diremos que el punto a ∈ C es un máximo relativo (local) de f si f (a) > f (x) para todo x perteneciente a un entorno de a en C. -Diremos que el punto a ∈ C es un mínimo relativo (local) de f si f (a) ≤ f (x) para todo x perteneciente a un entorno de a en C. A estos máximos y mínimos los llamaremos extremos locales de f en C.

Extremos globales

Definición. Sea f : C → R una función definida en un abierto C ⊆ R n. -Diremos que el punto a ∈ C es un máximo global estricto de f si f (a) > f (x) para todo x ∈ C (x ≠ a). -Diremos que el punto a ∈ C es un mínimo global estricto de f si f (a) < f (x) para todo x ∈ C (x ≠ a). -Diremos que el punto a ∈ C es un máximo global de f si f (a) > f (x) para todo x ∈ C. -Diremos que el punto a ∈ C es un mínimo global de f si f (a) ≤ f (x) para todo x ∈ C. A estos máximos y mínimos los llamaremos extremos globales de f en C.

Puntos críticos

Definición. Sea f : C → R una función definida en un abierto C ⊆ R n. Si f es diferenciable, llamaremos puntos críticos o estacionarios de f a aquellos puntos a ∈ C tales que, df (a) = 0. Por tanto en un punto crítico se anulan todas las primeras derivadas parciales de f. Proposición. Sea f : C → R una función definida en un abierto C ⊆ R n, diferenciable. Si a ∈ C es un extremo local de f entonces a es un punto crítico de f. Demostración. Sea x0 ∈ C un extremo local de f, sea u ∈ R n y sea h : V → C (V ⊂ R) definida por h(t) = x0 + tu (al ser C abierto y x0 un punto de C, se verifica que x0 + tu ∈ C para t suficientemente pequeño). La función f · h : V → R; (f · h)(t) = f (x0 + tu), es una función real de una variable que tiene un extremo relativo en el 0, por tanto su derivada se anula en ese punto. Utilizando la regla de la cadena obtenemos: 0 = d(f · h)(0) = df (xo) · dh(0) = df (x0)(u)

Puntos de silla

No todo punto crítico es un extremo relativo. A estos puntos críticos que no son extremos relativos los llamaremos puntos de silla.