Dinámica y cinemática de mecanismos: fórmulas clave

Dinámica del sólido rígido

a(P) = a(O) + α × OP + Ω × (Ω × OP), con α = dΩ/dt + Ω_base × Ω_sol.

Axoides: superficie, vértice, semiángulo y eje.

Pasos de la dinámica del sólido

1. Dinámica: velocidad angular.
2. Calcular el tensor de inercia II(P).
3. L(P) = II(P) · ω + m (PG) × V(P), con P fijo o P = G ⇒ 0.
4. II(O) = II(G) + m|OG|².
5. d_R1L(P)/dt = ΣM(P) + m(V(G) × V(P)).
6. d_R1L(P)/dt = d_R2L(P)/dt + ω × L(P).
7. ΣM(P) = ΣM_enl + ΣM_ext + Σ r × F_ext + Σ r × F_enl.

Equilibrio y péndulo

ΣF = m · a(G).

Péndulo: sen θ ≈ θ, cos θ ≈ 1, T = 2π/ω, (…)·θ = ω².

Sistema de partículas: OA ⇒ v(A), OB ⇒ v(B); L = r × m v; dL/dt = ΣM o L(B) = GB × m · V(B); ΣL = …

Trabajo virtual: δW = ΣF · δr + ΣM δΘ.

Ecuación de Lagrange: d/dt(∂L/∂q̇) − ∂L/∂q = 0.

Energía cinética: T = ½ m · v(O)² + m OG · [v(O) × ω] + ½ ω · (II_O · ω).

En m = d/z; sale/entra = transmite/transmitida.

Rodamientos y vida nominal

L₁₀ = (C/P)^p (p = 3 para bolas, 10/3 para rodillos).

L_h = 10⁶/(60n) · L₁₀.

P = X · F_r + Y · F_a; si F_a/F_r > e, P = X·F_r + Y·F_a; si F_a/F_r ≤ e, P = F_r.

Interpolación lineal: y = y_a + (x − x_a) · (y_b − y_a)/(x_b − x_a).

L₁₀ = a₁ · a_SKF · (C/P)^p; κ = ν(lub)/ν₁(visc. nom.).

Cinemática del sólido rígido

Sistema de referencia: conjunto de puntos materiales que se mantienen fijos entre sí; la referencia de puntos fijos respecto al sistema de referencia define el sólido. Se define por x (1 punto, 3 coordenadas), orientación (3 ángulos de Euler) y 3 puntos no alineados: 9 parámetros − 3 ecuaciones = 6 coordenadas.

Puntos de velocidad nula: el movimiento del sistema de referencia se considera como rotación alrededor de un eje y traslación a lo largo del mismo. Centro instantáneo de rotación (polo de velocidades): intersección de un eje con el plano móvil; punto de sección del sólido con velocidad nula.

Ruleta fija o base: intersección del plano móvil con el eje fijo.

Dinámica: fuerzas, cantidad de movimiento y trabajo

Fuerza: toda causa que actúa sobre una partícula y tiende a modificar su reposo o movimiento, a distancia o por enlace (contacto entre sólidos que restringen el movimiento).

Grados de libertad: movimientos independientes que pueden realizar un mecanismo.

Teorema de la cantidad de movimiento: en un sistema de puntos materiales que ejercen acciones mutuas y actúan fuerzas externas, el impulso de estas es igual al incremento de la cantidad de movimiento total del sistema.

Teorema del momento cinético: la resultante de momentos que actúa sobre un cuerpo es proporcional a la variación temporal de su momento cinético.

Trabajo virtual: trabajo efectuado en una transformación de desplazamiento virtual infinitesimal arbitrario del sistema desde la posición de equilibrio, igual a 0.

Principio de D'Alembert: el trabajo virtual efectuado por las fuerzas en desplazamientos virtuales infinitesimales reversibles, compatible con los enlaces de cualquier sistema mecánico, vale 0: δW = ΣF · δr + ΣM δΘ.

Relaciones holónomas: relaciones ligadas que comprenden relaciones entre coordenadas. No holónomas (esclerónomas): relaciones entre coordenadas diferenciales no integrables.

Principio de D'Alembert en coordenadas generalizadas: Σ{d/dt(∂T/∂q̇) − ∂T/∂q − Q} δq = 0 (velocidades generalizadas, energía generalizada, coordenadas generalizadas).

Engranajes

Engranaje: ángulo de presión, ángulo entre la línea de centros y la línea perpendicular a la línea de acción.

Línea de acción: punto de contacto que se desplaza a lo largo de la línea de presión desde el punto inicial donde comienza la acción de engrane hasta el punto donde los dientes se separan.

Razón de contacto: cuando un par de dientes termina de contactar, otro debe haber entrado en contacto; debe ser > 1.1.

Interferencia: aparecen dientes rebajados.