Titranje: Vrste, Zakoni i Formule

Titranje

Titranje je periodično ponavljanje gibanja u prirodi. Prestaje kada se težina utega uravnoteži sa silom elastične opruge.

F = k · x | S₀ = A - amplituda, maksimalna udaljenost

Elongacija (S) - bilo koja udaljenost od ravnotežnog položaja

Period (T) - vrijeme jednog titraja T = t/N (s)

Na oprugu djeluje elastična potencijalna energija te se dalje giba zbog inercijalne sile.

Frekvencija

f = N/t (s^-1 = Hz); t = N/T; f = N · t; f = 1/T

Analogija titranja i kružnog gibanja

sinα = S/r | sinα = S/S₀ | S = S₀ sinα | ω (omega, kutna brzina) = α/t | ω = 2π/T = 2πf

S = S₀ sinωt | S = S₀ sin2πft - promjena elongacije

v = v₀ cosα | v = v₀ cosωt | v = v₀ cos2πft

Akceleracija

Akceleracija je posljedica djelovanja sile (uzrok promjene stanja gibanja).

Dok sila raste prema gore, elongacija raste prema dolje.

a = a_c sin(α + π/2) | a/a_c = S/r | a = (a_c/r) · S | a_c = 4rπ²/T² | a = (4rπ²/T²) · (r/S)

F = m · a | F = m · 4rπ²/T² · r · S | F = -k · S - izraz za elastičnu silu (obratno-povratna sila)

Elongacija se mijenja po zakonu sinusa.

k = 4π² · m/T² | T = √(4π² · m/k) | T = 2π√(m/k)

Prigušeno titranje

Prigušeno titranje je kvaziperiodično titranje; javlja se kada uz harmoničku silu na tijelo djeluje i sila otpora sredstva u kojem se tijelo nalazi.

A₁ - A₂ - razlika prvog perioda | δ (delta) = (A_n - 1)/A_n - dekrement titranja (omjer jedne i sljedeće amplitude)

Energija se gubi u svakom titraju; sljedeća amplituda umanjuje se za 1/δ.

A_n = δ^n-1 · A₁

Jako gušenje

Kod viskoznih tekućina stvaraju se veći otpori gibanju.

• Ekstremno jako - tijelo se neće uspjeti vratiti u ravnotežni položaj, nema više inercijalne sile (kinetička energija se pretvara u potencijalnu, inercija slabi).
• Kritično - tijelo se za najkraće vrijeme vrati u ravnotežni položaj.

Što je gušenje jače, frekvencija se smanjuje (√, ω → 0, teži nuli), a period teži beskonačno velikoj vrijednosti (T → ∞).

Q-faktor

Q-faktor je približan broj titraja dok se ne izgubi energija titrajućeg sustava.

Q = 2π W_n/(W_n - W_n+1) | energija odlazi s vremenom; nazivnik definira približan broj titraja.

Prisilno titranje

Prisilno titranje nastaje kada na titranje utječe vanjska sila (npr. uteg i sila (ruka) titraju u protufazi, što je frekvencija veća, to je puno veća od vlastite).

• Za f < f₀ - titranje se ne povećava, amplituda se ne mijenja (titranje u fazi).
• Za f >> f₀ - titranje je u protufazi, amplituda se s frekvencijom vanjske sile smanjuje (kada ruka ide dolje, uteg već ide gore).
• Za f = f₀ - titranje je u fazi i amplituda doživljava ekstremne vrijednosti. Rezonantno titranje (pobuđeno vanjskom silom).

Prijenos energije titranja odvija se istom ili približno istom frekvencijom (ljuljačka, šipka).

Energija raste s kvadratom amplitude: Q = f/Δf.

100 mHz = Q_f = 10⁵

^{Važna oštrina}